多項式回帰

年齢と年収のように、途中で向きが変わる関係を、説明変数の2乗を加えた回帰で表します。年収が最も高くなる年齢を求め、直線の回帰と比べます。

公開

2026-10-19

最終更新

2026-10-19

1 目的

年収は年齢とともにどう変わるのでしょうか。何歳ごろが最も高いのでしょうか。このページでは、成人1,000人が生活や仕事について答えたという設定の架空の調査データを使い、年齢と年収の関係を調べます。

年齢と年収の関係は、若いうちは上がり、ある年齢を過ぎると下がる、という山の形になりがちです。直線の回帰では、このように途中で向きが変わる関係を表せません。そこで、説明変数の年齢に加えて、年齢の2乗も説明変数にします。このように、説明変数の2乗や3乗を加える回帰を多項式回帰と呼びます。2乗までを使うと、当てはめ値は放物線の一部を描きます。

まず、復習として年収を年齢に回帰し、直線の結果を確かめます。次に、年齢の2乗を加えて同じ分析を行い、年収が最も高くなる年齢と、2つのモデルの当てはまりを比べます。分析のコードはAIに作ってもらい、自分のPositronで実行して確かめましょう。

「第8節（2乗項を加える）」までを読んで実行し、「第9節（練習問題）」に取り組んでください。年収のように右に長い裾を引く変数の扱いは、対数変換のページで扱います。

2 準備

先に確認する動画

Moodleで指定された解説動画を確認してください。

調べたいこととデータ

ここでは、模擬調査データを使います。成人1,000人が生活や仕事についてのアンケートに答えたと想定した架空のデータで、1行が1人です。今回使うのは、次の2列です。

列名	内容	単位・値
`age`	年齢	20〜79歳、1歳刻みの整数
`income`	個人の年収	万円単位で、0以上の整数。0は年収がないことを表し、未回答ではありません

年収が0の人も、そのまま分析に含めます。このページでは年収の対数をとらないので、0を除く必要はありません。

模擬データについて

実際の調査の結果ではありません。回帰の読み方を練習するため、年齢や就業区分と年収の関連を設定して生成しています。欠損値はありません。分析結果を、実在する人々の年齢と年収の関係の証拠とは扱いません。

2次関数の復習

\(x\) の2乗を含む式 \(y = a x^2 + b x + c\) を、2次関数と呼びます。グラフは放物線になり、\(a\) が負なら山の形、正なら谷の形です。山の頂上、または谷の底を頂点と呼び、頂点の \(x\) の値は次の式で求められます。

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

例えば \(y = -x^2 + 4x + 10\) では、\(a = -1\)、\(b = 4\) なので、頂点は \(x = -4 \div (2 \times (-1)) = 2\) です。

横軸がx（-2〜6）、縦軸がyの放物線。x=2で頂点のy=14に達する山の形で、頂点に点と縦の破線があり、左右が対称に下がっています。 — 図 1: 2次関数 \(y = -x^2 + 4x + 10\) のグラフ。点は頂点 \((2, 14)\) です。

グラフは \(x = 2\) で頂点の14に達し、その左右で対称に下がる山の形です。このページでは、年齢を \(x\)、年収を \(y\) にあてはめ、年収が最も高くなる年齢をこの式で求めます。

ファイルとRの準備

RとPositronの導入、フォルダの開き方やコードの実行方法は、「RとPositronのセットアップ」で確認してください。Positronで授業用フォルダを開き、今回のコードを保存するRスクリプトを用意します。例えば、polynomial-regression.R という名前で保存してください。

模擬調査データのCSVを、Positronで開いている授業用フォルダに保存してください。ファイル名は mock_survey.csv です。対数変換などのページで保存したCSVがこのフォルダにあれば、そのファイルを使えます。コードブック（データの説明書）には、すべての列の説明があります。

readr はCSVの読み込み、dplyr は年代ごとの集計、ggplot2 は作図に使います。tidyverseを導入済みなら、追加のインストールは不要です。

CSVの読み込みと年齢別の年収

まず、CSVを読み込み、survey という名前で保存します。nrow() で、1,000人分あることを確認してください。

survey <- readr::read_csv("mock_survey.csv", show_col_types = FALSE)
nrow(survey)

[1] 1000

年齢と年収の散布図を描きます。点が重なるので、半透明にしています。

ggplot2::ggplot(survey, ggplot2::aes(x = age, y = income)) +
  ggplot2::geom_point(alpha = 0.2) +
  ggplot2::labs(x = "年齢（歳）", y = "年収（万円）")

横軸が年齢（20〜79歳）、縦軸が年収（万円）の散布図。どの年齢でも0〜600万円あたりに点が密集し、上に向かって2,000万円を超える点までまばらに散らばっています。年収0の点は20代後半から見られ、高い年代ほど多くなっています。 — 図 2: 1,000人の年齢と年収。

散布図では、どの年齢の人も年収が大きく散らばっていて、年齢による違いは読み取りにくいです。そこで、10歳刻みの年代ごとに、人数と平均年収を求めます。%/% は割り算の商（整数部分）を求める記号で、age %/% 10 * 10 は、例えば37歳を30に、62歳を60にします。mutate() でこの値を age_group という列に入れ、group_by() と summarise() で年代ごとに集計します。

survey |>
  dplyr::mutate(age_group = age %/% 10 * 10) |>
  dplyr::group_by(age_group) |>
  dplyr::summarise(n = dplyr::n(), mean_income = mean(income))

# A tibble: 6 × 3
  age_group     n mean_income
      <dbl> <int>       <dbl>
1        20   167        301.
2        30   167        375.
3        40   167        364.
4        50   167        302.
5        60   166        255.
6        70   166        189.

各年代に166人か167人がいます。平均年収は、20代の約301万円から30代の約375万円へ上がり、40代では約364万円とほぼ同じで、50代以降は下がっていきます。年齢とともに年収は上がり続けるのでも、下がり続けるのでもなく、30代から40代あたりを頂上とする山の形をしていそうです。

3 分析の仕様を言葉にする

準備で求めた平均年収は、山の形をしていそうでした。ここでは順を追って、まず年収を年齢の1次関数、つまり直線で表すモデルから始めます。これまでに学んだ単回帰と同じ分析です。直線の結果を確かめておくと、後で2乗項を加えたときに、何が変わったかを比べやすくなります。

この直線のモデルで知りたいことは、年齢が1歳高いと、年収が平均で何万円違うかです。

項目	今回の仕様
データ	読み込んだ `survey`
対象	1,000人全員。年収が0の人も含める
被説明変数	`income`（年収、万円単位の整数、0〜2,393）
説明変数	`age`（年齢、20〜79歳の整数）
モデル	切片を含む単回帰。年収を年齢に回帰する
数値の出力	`summary()` の結果と、分析に使った人数

直線のモデルは単回帰の復習なので、ここでは図を描きません。直線は、「第8節（2乗項を加える）」で2乗項を加えたモデルと重ねて描きます。

4 AIへの指示例

AIには、上の表をもとにRコードを作ってもらいます。分析は、返ってきたコードを自分のPositronで実行して行います。AIには変数名や値の範囲などの説明だけを伝え、CSVや個々の回答は渡しません。

単回帰モデルのページと同じ組み立てなので、ここでは全文だけを示します。

コピーして使う指示例（全文）

Rで単回帰分析を行うコードを作ってください。実行は私がPositronで行います。
データフレームsurveyは準備済みです。成人1,000人で、欠損値はありません。
incomeは年収で、万円単位の整数です。0〜2,393で、0は年収がないことを表します。
ageは年齢で、20〜79歳の整数です。
incomeを被説明変数、ageだけを説明変数とし、
切片を含むモデルをlm()で推定してください。
summary()で結果を、nobs()で分析人数を表示してください。
元データを変更せず、変数の変換や標準化、対象者の絞り込みはしないでください。
代入は <-、パイプは |> を使い、関数はできるだけパッケージ名を付けてください。
推定と結果表示を分け、短い説明を添えてください。

返ってきたコードをPositronのスクリプトに貼り、準備コードに続けて実行します。実行後は「第6節（検証チェックリスト）」と照らし合わせ、必要に応じて下の参照コードも開いてください。エラーが出たら、個人の回答データを含めず、エラーメッセージと該当するコードをAIに伝えて修正を依頼してください。

5 参照コードと出力

自分のコードを実行してから開き、結果を照合してください。

直線の回帰の参照コードと出力（実行してから開く）

lm() で回帰モデルを推定し、結果を model_linear に保存します。

model_linear <- lm(income ~ age, data = survey)

summary() で係数などの結果を、nobs() で分析人数を表示します。

summary(model_linear)


Call:
lm(formula = income ~ age, data = survey)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-363.21 -164.80  -56.48  125.48 2131.81 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 441.9213    22.7138  19.456  < 2e-16 ***
age          -2.9151     0.4331  -6.731 2.84e-11 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 237.9 on 998 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.04343,   Adjusted R-squared:  0.04247 
F-statistic: 45.31 on 1 and 998 DF,  p-value: 2.835e-11

nobs(model_linear)

[1] 1000

6 検証チェックリスト

検証チェックリスト

被説明変数は income、説明変数は age だけか。
nobs() の分析人数は1,000人か。
切片は約441.921、年齢の係数は約−2.915、R²は約0.043か。

数値が大きく違う場合は、回帰式とCSVのファイル名を確かめます。人数が1,000人より少なければ、AIが年収0の人を除いていないかを確認してください。

7 結果の解釈

今回の回帰直線は、丸めると次の式です。年収の単位は万円です。

\[ \widehat{\text{年収}} = 441.921 - 2.915 \times \text{年齢} \]

年齢が1歳高いと、年収の当てはめ値が約2.9万円低いという関係です。年齢の行のp値は 2.84e-11 で、p < .001 と報告します。R²は約0.043で、このモデルは年収のばらつきの約4.3%を説明しています。

ただし、準備で求めた年代ごとの平均年収は、20代から30代にかけて約74万円上がっていました。直線は、年齢が上がるにつれて年収が一定の幅で下がり続ける、という形しか表せません。20代から30代への上昇は直線に表れず、30代から40代を頂上とする山の形も消えています。次の節では、年齢の2乗を説明変数に加えて、この山の形を表します。

8 2乗項を加える

知りたいことと仕様の変更

ここからが、このページの主題です。知りたいことを「年齢が1歳高いと、年収は平均で何万円違うか」から、「年収は年齢とともにどう変わり、何歳ごろが最も高いか」に変えます。そのために、年齢に加えて年齢の2乗を説明変数にします。

\[ \text{年収}_i = \beta_0 + \beta_1 \times \text{年齢}_i + \beta_2 \times \text{年齢}_i^2 + \varepsilon_i \]

\(\beta_2\) が負なら上に凸（山の向き）、正なら下に凸（谷の向き）の放物線になります。ただし、当てはめ値として使うのは、データのある20〜79歳の部分だけです。説明変数は年齢と年齢の2乗の2つなので、重回帰の一種です。年齢の2乗の項を、2乗項と呼びます。

仕様の変更は、次のとおりです。データ、対象、被説明変数、切片の扱いは変えません。

項目	2乗項を加える回帰での仕様
データと対象	最初の回帰と同じ `survey` の1,000人
説明変数	`age` と、`age` の2乗。Rの回帰式では `I(age^2)` と書く
モデル	切片を含む重回帰。年収を年齢と年齢の2乗に回帰する
数値の出力	`summary()` の結果と分析人数。年収が最も高くなる年齢、20・40・60歳の当てはめ値。最初の回帰との自由度調整済みR²の比較
図	横軸が年齢、縦軸が年収の散布図に、直線と放物線の当てはめ値を重ねる。点は半透明にし、信頼帯は表示しない。線は全員のデータから求め、縦軸の表示範囲だけを0〜1,000万円にする

Rの回帰式の中で ^ は、変数の2乗とは別の意味を持ちます。そのため、2乗を表すときは I() で囲み、I(age^2) と書きます。I() は「中の式を、ふつうの計算として扱う」という指定です。

最初のプロンプトを自分で修正し、AIにこの分析を依頼してください。 説明変数に I(age^2) を加えること、頂点の年齢と当てはめ値を計算すること、2つのモデルの自由度調整済みR²を並べること、散布図に直線と放物線を重ねることが伝わるか確かめます。最初のプロンプトのうち、次の3か所は、そのままでは今回の分析と食い違うので書き換えます。

「単回帰分析」は、年齢の2乗を加えた回帰分析に変える。
「ageだけを説明変数とし」は、age と I(age^2) を説明変数にする指定に変える。
「変数の変換や標準化…はしないでください」は、年齢の2乗を加える以外の変換をしない、という指定に変える。

図の指定も加えます。年収がとくに高い人がいるため、縦軸を全員分の範囲にすると、2本の線の違いが見えにくくなります。上の表のとおり、線は全員のデータから求め、縦軸の表示範囲だけを狭めるよう伝えてください。

2乗項を加える回帰の参照コードと出力（実行してから開く）

回帰式の右側に I(age^2) を加えます。survey に2乗の列を作る必要はありません。

model_quadratic <- lm(income ~ age + I(age^2), data = survey)

summary(model_quadratic)


Call:
lm(formula = income ~ age + I(age^2), data = survey)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-357.63 -166.52  -39.67  115.10 2110.46 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 120.42456   63.34125   1.901   0.0576 .  
age          11.95848    2.77414   4.311 1.79e-05 ***
I(age^2)     -0.15071    0.02777  -5.426 7.23e-08 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 234.6 on 997 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.07087,   Adjusted R-squared:  0.069 
F-statistic: 38.02 on 2 and 997 DF,  p-value: < 2.2e-16

nobs(model_quadratic)

[1] 1000

coef() で係数を取り出し、頂点の式 \(-b \div 2a\) に、年齢の係数を \(b\)、2乗の係数を \(a\) としてあてはめます。b["age"] のように、名前で係数を指定できます。

b <- coef(model_quadratic)
peak_age <- -b["age"] / (2 * b["I(age^2)"])
peak_age

    age 
39.6748

predict() で、指定した年齢の当てはめ値を求めます。newdata に、年齢を並べた表を渡します。頂点の年齢、20歳、40歳、60歳の順です。

predict(model_quadratic,
        newdata = data.frame(age = c(peak_age, 20, 40, 60)))

       1        2        3        4 
357.6498 299.3117 357.6338 295.3909

2つのモデルのR²と自由度調整済みR²を並べます。

model_comparison <- data.frame(
  model = c("直線", "2乗項を加える"),
  r_squared = c(summary(model_linear)$r.squared,
                summary(model_quadratic)$r.squared),
  adj_r_squared = c(summary(model_linear)$adj.r.squared,
                    summary(model_quadratic)$adj.r.squared),
  n = c(nobs(model_linear), nobs(model_quadratic))
)
model_comparison

          model r_squared adj_r_squared    n
1          直線 0.0434272    0.04246871 1000
2 2乗項を加える 0.0708662    0.06900234 1000

散布図に、直線と放物線を重ねます。geom_smooth() の formula で、y ~ x なら直線、y ~ x + I(x^2) なら2乗項を加えた放物線を描きます。linetype で線の種類を分け、凡例に名前を表示します。coord_cartesian() で縦軸の表示範囲を0〜1,000万円に絞り、年収がとくに高い11人は図の外に出しています。グラフの端には少し余白が付くので、1,000万円をわずかに超える点も表示されます。表示範囲を狭めても、線は1,000人全員のデータから計算されます。

ggplot2::ggplot(survey, ggplot2::aes(x = age, y = income)) +
  ggplot2::geom_point(alpha = 0.2) +
  ggplot2::geom_smooth(ggplot2::aes(linetype = "直線"),
                       method = "lm", formula = y ~ x, se = FALSE) +
  ggplot2::geom_smooth(ggplot2::aes(linetype = "2乗項を加える"),
                       method = "lm", formula = y ~ x + I(x^2), se = FALSE) +
  ggplot2::coord_cartesian(ylim = c(0, 1000)) +
  ggplot2::labs(x = "年齢（歳）", y = "年収（万円）", linetype = "モデル")

横軸が年齢（20〜79歳）、縦軸が年収（0〜1,000万円）の散布図に2本の線を重ねた図。破線は約380万円から約210万円へゆるやかに右下がりの直線です。実線は20歳の約300万円から上がり、40歳ごろに約360万円で頂上に達し、その後は下がって79歳で約120万円になる山形の曲線です。 — 図 3: 年齢と年収。実線は2乗項を加えた回帰、破線は直線の回帰による当てはめ値です。年収がとくに高い11人は表示範囲の外にあります。

確認と解釈

2乗項を加える回帰の確認

nobs() の分析人数は1,000人か。
summary() の係数の表に、age と I(age^2) の2行があるか。
年齢の係数は約11.958、2乗の係数は約−0.1507、自由度調整済みR²は約0.069か。
頂点の年齢は約39.7歳で、データの範囲（20〜79歳）の内側にあるか。
図の2乗項を加えた線は山の形で、40歳ごろに頂上があるか。

summary() の結果に age の行しかない場合は、「問2」で扱う書き方の問題があります。AIが2乗の列を survey に作ってから回帰するコードを返した場合も、列の中身が age の2乗で、係数が上と一致すれば正解です。

AIが poly(age, 2) を使うこともあります。poly() は、何も指定しないと2乗とは別の形に変換した値を使うので、当てはめ値は同じでも係数が上の値と違い、頂点の式には使えません。poly(age, 2, raw = TRUE) とするか、I(age^2) に書き直してください。

モデル	R²	自由度調整済みR²	人数
直線	0.043	0.042	1,000
2乗項を加える	0.071	0.069	1,000

年収の当てはめ値は、年齢の係数と2乗の係数から、次の式で表されます。

\[ \widehat{\text{年収}} = 120.425 + 11.958 \times \text{年齢} - 0.1507 \times \text{年齢}^2 \]

2乗の係数が負なので、当てはめ値は山の形です。頂点の式に係数をあてはめると、\(-11.958 \div (2 \times (-0.1507))\) で約39.7歳です。年収の当てはめ値は約40歳で最も高く、約358万円です。 20歳では約299万円、40歳では約358万円、60歳では約295万円です。20歳から40歳にかけて約58万円上がり、40歳から60歳にかけて約62万円下がります。

推定されるのは放物線の一部

回帰分析で推定した式は、データのある範囲、今回なら20〜79歳の間でだけ当てはめ値として使います。この範囲の当てはめ値は、放物線全体ではなく、その一部です。今回は頂点の約39.7歳が範囲の内側にあるので、当てはめ値は山の形になりました。

もし頂点が範囲の外にあれば、範囲の中の曲線は山にも谷にもならず、上がり続けたり下がり続けたりしながら、傾きが少しずつ変わる線になります。その場合、頂点の式で求めた年齢は、データのない年齢についての計算にすぎず、「何歳ごろが最も高いか」の答えにはなりません。チェックリストで頂点が20〜79歳の内側にあるかを確かめたのは、このためです。同じ理由で、範囲の外、例えば90歳の当てはめ値を求めても、その値は解釈しません。

2次式では、個々の係数を「年齢が1歳高いと何万円」とは読みません。年齢の係数11.958は、年齢の2乗を一定にして年齢だけを変えたときの違いを表しますが、年齢が変われば2乗も必ず変わるからです。ここでは、頂点の年齢と、いくつかの年齢での当てはめ値で、放物線全体の形を読みます。

当てはまりを比べるには、自由度調整済みR²を使います。同じ人の同じ被説明変数について、元の説明変数を残したまま新しい説明変数を加えると、R²は下がりません。役に立たない説明変数を加えても、R²はわずかに上がることがあります。そこで、説明変数の数を考慮してR²を割り引いた値が、自由度調整済みR²です。自由度調整済みR²は、説明変数を加えても、当てはまりがあまり良くならなければ下がります。summary() の出力では Adjusted R-squared と表示され、単回帰モデルのページで紹介した「調整済み決定係数」と同じものです。

自由度調整済みR²は、直線の約0.042から、2乗項を加えて約0.069に上がりました。年齢の2乗を加えることで、年収のばらつきをより多く説明できています。ただし、2乗項を加えたモデルのR²は約0.071で、年収のばらつきの約93%は説明できていません。

最後に、この結果から言えないことを確認します。今回のデータは、ある時点で、異なる年齢の人に一度だけ尋ねた調査です。このようなデータを横断データと呼びます。40歳の人と60歳の人の年収の違いは、同じ人が40歳から60歳になると年収が下がることを示すとは限りません。生まれた年代による働き方の違いなど、年齢以外の違いも含まれているからです。同じ人の年収の変化を調べるには、同じ人を何年も追跡して調査したデータが必要です。

平方完成で頂点を確かめる

2次関数は、\(a(x - p)^2 + q\) の形に書き直すと、頂点が \(x = p\) のときの値 \(q\) だと分かります。この書き直しを平方完成と呼びます。

\[ a x^2 + b x + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \]

\(a\) が負なら、\(a(x - p)^2\) は \(x = p\) のとき0で、それ以外では負になります。そのため、\(y\) は \(x = p = -b / (2a)\) のとき最大の \(q = c - b^2 / (4a)\) をとります。頂点の式 \(-b / (2a)\) は、ここから求められます。

今回の係数をあてはめると、\(p = -11.958 \div (2 \times (-0.1507)) \approx 39.7\)、\(q = 120.425 - 11.958^2 \div (4 \times (-0.1507)) \approx 357.6\) です。predict() で求めた頂点の当てはめ値と一致します。

本文の分析はここまでです。続いて、「第9節（練習問題）」に取り組んでください。

9 練習問題

問1：結果を説明する

本文の結果を見た友人が、次のように言ったとします。

年齢の係数が11.958だから、年齢が1歳上がると年収は約12万円増えるんだね。それに、40歳を過ぎると年収が下がるということは、自分も40歳を過ぎたら年収が下がっていくんだ。

この2つの文の、それぞれどこが本文の結果と合わないでしょうか。本文の数値を使って、2乗項を加えたモデルから分かることを3〜4文で説明してください。

問2：動くコードが指示どおりかを確かめる

「年収を年齢と年齢の2乗に回帰したい」と指示したところ、次のコードが返ってきたとします。

model_check <- lm(income ~ age + age^2, data = survey)
summary(model_check)

エラーなく実行でき、人数も1,000人です。このコードは、指示とどこが違うでしょうか。summary() の出力のどこを見れば気づけるかも答えてください。

解答と確認のポイント（自分で解いてから開く）

問1

1つ目の文は、2次式の係数を1つだけ取り出して読んでいます。年齢が変わると年齢の2乗も変わるので、年齢の係数だけで「1歳あたり何万円」とは言えません。実際、当てはめ値は20歳から40歳ごろまでは上がりますが、その後は下がります。

2つ目の文は、異なる年齢の人を一度に比べた結果を、同じ人の将来の変化として読んでいます。今回のデータは横断データなので、年齢による違いには、生まれた年代などの違いも含まれます。

説明の例：2乗項を加えたモデルでは、年収の当てはめ値は約40歳で最も高く、約358万円です。20歳では約299万円、60歳では約295万円で、40歳ごろを頂上とする山の形をしています。ただし、これは異なる年齢の人を比べた結果で、同じ人が年をとると年収がこのように変わるとは言えません。また、このモデルのR²は約0.071で、年収のばらつきの大部分は説明できていません。

問2

指示と違うのは、2乗の項が入っていないことです。Rの回帰式の中では、age^2 は年齢の2乗ではなく、age だけと同じ意味になります。そのため、このコードは最初の直線の回帰と同じモデルです。

model_check <- lm(income ~ age + age^2, data = survey)
coef(model_check)

(Intercept)         age 
 441.921293   -2.915056

summary() の係数の表に age の行しかなく、係数は約−2.915で、直線の回帰と同じです。指示どおりにするには、I(age^2) と書きます。説明変数を加えたつもりなら、係数の表の行数が増えているかを確かめてください。

10 発展（任意）

3次式を加える

2乗に加えて、年齢の3乗も説明変数にできます。3次式では、当てはめ値の曲線が向きを2回まで変えられます。

\[ \text{年収}_i = \beta_0 + \beta_1 \times \text{年齢}_i + \beta_2 \times \text{年齢}_i^2 + \beta_3 \times \text{年齢}_i^3 + \varepsilon_i \]

本文の2次式に I(age^3) を加えたモデルを推定し、次の点を確かめてください。

自由度調整済みR²は、2次式からどれだけ変わったか。
散布図に2次式と3次式の当てはめ値を重ねると、2本の線はどこで違うか。

次数を上げるほど、曲線は手元のデータの細かな凸凹に合わせて曲がります。当てはまりの改善が小さいのに次数を上げると、解釈が難しくなるうえ、別のデータには当てはまらないモデルになりがちです。2つの結果を見て、今回のデータで3次式まで使う必要があるかを考えてください。

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年収は右に長い裾を引く変数でした。年収の違いを金額ではなく割合で考える方法は、対数変換のページで扱います。

最終更新: 2026-10-19